2007/08/24(金)実数FFT/IFFT関数

長年理解するのを拒否していたFFTとここ何週間か格闘しています。楽々とアルゴリズムを導出・実装できる人はいいのでしょうが、FFTのようなアルゴリズムをきちんと理解して実装するのは思うほど容易ではありません。既に導出されたアルゴリズム(や雛形サンプル)を何も考えず実装すれば簡単ですが、そういうことが生理的にできない場合、改良とかを考え出して簡単には実装できなくなるんですよね。

前置きはともかく、今日やっと実数専用のFFT/IFFTが作成できました。実数専用にすることで理論的には通常のFFTの半分の時間で処理できます。

見ての通り、実数FFTの対称性を利用したものすごく面倒くさく複雑な作りになっているんですが、有名なFFTの概略と設計法のソースと速度比較をしたら倍近く遅い……。64K点、double型、VIA C3 500MHzで動作させて、自作が100ms、リンク先のソースが60ms。

いかに細かい最適化をしても実装アルゴリズムの時点で差があると非常に大きいですね……。あとでアルゴリズムの差を検証予定。

ソース解読メモ

大浦氏のFFTソース(fft4g.c)解読メモ。つまりリバースエンジニアリングです。

サブルーチンの機能

cdft()複素数FFT/IFFT。データサイズは N/2
rdft()実数FFT/IFFT。内部的に複素FFTを呼び出し
makewt()sin/cosテーブルを w[] に格納(ただし格納位置はビット反転)
makect()cosテーブルを w[nw~] に格納(ただし格納位置はビット反転)
bitrv2()ビット反転を実行
bitrv2conj()ビット反転しつつ、読込データの複素共役を取る
cftfsub()複素IFFT(f=forward, 回転子が正であるという意味)
cftbsub()複素FFT(b=backward, 回転子が負であるという意味)
rftfsub()実数IFFT
rftbsub()実数FFT

IFFTをFFTで代用する方法

C(k) = \sum_{n=0}^{N-1} c(n) W^{kn}  c(n) = \sum_{k=0}^{N-1} C(k) W^{-kn}

なんだけども、複素共役を考えると

\overline{c(n)} = \sum_{k=0}^{N-1} \overline{C(k) W^{-kn}} =  \sum_{k=0}^{N-1} \overline{C(k)} W^{kn}

つまり前処理と後処理としてデータの複素共役を取ってあげれば、同じFFTルーチンを使い回すことができる(効率を考えて、初段部分と終段部分だけ個別特別に実装すれば、中段部分は使い回せる)。

その他メモ

  • 一般的なFFT(DFT)と比べ虚数部の符号が逆になっている*1

周波数間引きFFTである

やっとこのプログラムの要が理解出来ました。

先にデータをスクランブルして(並べ替えて)いるため「時間間引きFFT」に見えますが、実際には周波数間引きFFTです。sin/cosテーブルもわざわざスクランブル位置に格納しています。

こうすることでFFT実行時のデータアクセスをシーケンシャルに行え*2、それが功を奏して実行速度が飛躍的に速くなっています。またsin/cosテーブル、偶数番地に cos、奇数番地に sin を格納し、全体としても π/2 しか用意しないことで、データアクセス量を減らしキャッシュが効きやすくなっています。

256点の複素FFTを実行させたときの、cos/sinテーブル参照位置およびデータ参照位置は次のようになります。

 call cftmdl(512, 8)
  k1=1 (0.923880,0.382683), k2=2 (0.707107,0.707107)
    32 36 40 44
    33 37 41 45
    34 38 42 46
    35 39 43 47
  k1=2 (0.980785,0.195090), k2=4 (0.923880,0.382683)
    64 68 72 76
    65 69 73 77
    66 70 74 78
    67 71 75 79
  k1=3 (0.831470,0.555570), k2=6 (0.382683,0.923880)
    96 100 104 108
    97 101 105 109
    98 102 106 110
    99 103 107 111
  k1=4 (0.995185,0.098017), k2=8 (0.980785,0.195090)
    128 132 136 140
    129 133 137 141
    130 134 138 142
    131 135 139 143
  k1=5 (0.881921,0.471397), k2=10 (0.555570,0.831470)
    160 164 168 172
    161 165 169 173
    162 166 170 174
    163 167 171 175
  k1=6 (0.956940,0.290285), k2=12 (0.831470,0.555570)
    192 196 200 204
    193 197 201 205
    194 198 202 206
    195 199 203 207
  k1=7 (0.773010,0.634393), k2=14 (0.195090,0.980785)
    224 228 232 236
    225 229 233 237
    226 230 234 238
    227 231 235 239
 call cftmdl(512, 32)
  k1=1 (0.923880,0.382683), k2=2 (0.707107,0.707107)
    128 144 160 176
    129 145 161 177
(中略)
    142 158 174 190
    143 159 175 191

ほんと、この実装はすごいなぁ。

*1 : ソース中のDFT定義どおりの実装なのでバグの類ではありません。

*2 : キャッシュが非常によく効く

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